角平分线定理

角平分线定理是几何中的一个基本定理，也是解决许多几何问题的重要工具之一。它的核心思想是将一个角的平分线所构成的两个角分别与原来的角的两个部分成比例。

定理表述

角平分线定理的表述如下：

在 ΔABC 中，以点D将角∠BAC 分成角∠BAD 和∠CAD 两部分，则有：

AD/BD = AC/BC = CD/BD

证明

我们来看一下角平分线定理的证明。

首先，我们将图中的角∠BAC 分成两个角∠BAD 和∠CAD。然后，我们在角∠BAD 和∠CAD 中分别作出角平分线DE 和 CF。这时，我们可以发现，在 ΔABD 和 ΔACD 中：

AD/BD = sin∠ABD/sin∠BAD

AC/CD = sin∠ACD/sin∠CAD

因为 ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC，所以 sin∠BAD = sin∠CAD。

因此，我们可以得到AD/BD = AC/CD。又因为BD = BC ? CD，所以我们可以得到AD/BC = AC/BC = CD/BC。证毕。

角平分线定理的应用

角平分线定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多几何问题。

例如，我们可以利用角平分线定理来证明角内平分线垂直于对边中线。证明如下：

连接 AC 平分线BD，连接AB、CD，设 BD 与 AC 的交点为E，则根据角平分线定理可得：

AE/EC = AB/BC

ED/DC = AB/BC

即 AE/EC = ED/DC。

又因为 ∠AEB = ∠DEC，所以 ΔAEB 与 ΔDEC 全等，因此 ∠BED = ∠BEC。

又因为 ∠BEC = 90°，所以 ∠BED = 90°，即角内平分线 BD 垂直于对边 AC 中线。

总结

角平分线定理在几何中是一个十分重要的定理。它的核心思想是将一个角的平分线所构成的两个角分别与原来的角的两个部分成比例。通过这个定理，我们可以解决很多几何问题，例如证明角内平分线垂直于对边中线等。因此，学好角平分线定理对于学习几何非常有帮助。